Wyobraź sobie następujący warunek początkowy:
Dwa całkowicie mieszalne płyny A i B o różnych lepkościach dynamicznych $ \ eta_A $ i $ \ eta_B $ są oddzielane w kontenerze o stałej objętości $ V_0 $ i długości $ L $. Temperatura $ T_e $ jest stała w całym zbiorniku, czas to $ t_0 = 0 $. Ułamek masy $ w_B (x) $ w tym momencie jest funkcją skokową (lub wygodnym jej przybliżeniem), jak pokazano na poniższym szkicu.
Mając na uwadze te definicje, jaka jest czas $ t_m $, w którym ułamek masy $ w_B $ znajduje się w obrębie $ \ pm \ delta \% $ swojej wartości równowagi w całym kontenerze?
Pierwszą rzeczą, która przyszła mi do głowy, było równanie dyfuzji: $$ \ frac {\ części \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ part t} = \ nabla \ cdot \ big [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) \ big] $$ Stamtąd prawdopodobnie potrzebuję tylko przybliżenia $ D (\ phi (\ mathbf { r}, t)) $ i rozwiąż równanie różniczkowe. Czy to właściwy kierunek? Jakie przybliżenia byłyby odpowiednie?
Równanie Stoke-Einsteina pozwala mi obliczyć $ D $: $$ D = \ frac {k_ \ mathrm {B} \ cdot T} {6 \ pi \ cdot \ eta \ cdot r} $$, ale nie znam promienia $ r $. Po prostu nie wiem, jak iść dalej.