Strumienie termiczne były szeroko badane pod kątem zastosowań związanych z bezpieczeństwem pożarowym. Często znasz współczynnik wydzielania ciepła $ Q $, ale niewiele więcej. Bezwymiarowa grupa o nazwie $ Q ^ * $ (wymawiana jako „gwiazda Q”) jest używana zamiast bardziej powszechnych parametrów, takich jak liczba Reynoldsa i liczba Rayleigha. Ten parametr można traktować jako siłę źródła ciepła w określonej odległości. Dobrze koreluje z oparami termicznymi. Możesz wyprowadzić tę grupę przez bezwymiarowanie równań Naviera-Stokesa i ustawienie bezwymiarowych grup równych 1 w celu zdefiniowania charakterystycznej długości i prędkości. Aby uzyskać więcej informacji, zapoznaj się z artykułem Gunnara Heskestada na temat tej bezwymiarowej grupy.

W przypadku modelowania pożaru ludzie generalnie ignorują podobieństwo liczb Prandtla i kilka innych rzeczy, więc mówią, że bezwymiarowe rozkłady temperatury i prędkości są tylko funkcjami $ Q ^ * $.

Najważniejsze parametry to:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

Mówiąc dokładniej, jeśli znasz temperaturę ($ T $) jako funkcję wysokości ($ x $) nad gorącym obiektem, możesz znaleźć $ T ^ * $ jako funkcję $ Q ^ * $. $ Q ^ * $ jest jak bezwymiarowa współrzędna przestrzenna.

Ściśle mówiąc, twoja konfiguracja nie będzie dokładnie podobna, ponieważ twoja cewka i człowiek nie są geometrycznie podobni (a rozkład strumienia ciepła na cewce prawdopodobnie też nie jest podobny). Na twoim zdjęciu zakładam, że człowiek leżałby, gdyby pożądane było jakiekolwiek rozsądne podobieństwo geometryczne. Pole dalekie powinno być w porządku i zakładam, że właśnie to Cię interesuje [2].

Nie jest też jasne, jaką wielkością jesteś zainteresowany. Założyłem, że chcesz uzyskać rozkład temperatury w pióropuszu, powiedzmy, na wysokości x_1 $ powyżej w rzeczywistości, co w twoim modelu byłoby x_2 ​​$. Popraw mnie, jeśli to źle.

Poza tym, chociaż nie przeprowadzam eksperymentów, wyobrażałem sobie, że twoja cewka grzewcza ma moc wyjściową $ W $, a nie strumień ciepła. Daj mi znać, jeśli się mylę, a zmienię odpowiedź.

Zignorowanie pozostałych parametrów może, ale nie musi być poprawne w Twoim przypadku (wydaje się być w porządku ze względu na bezpieczeństwo przeciwpożarowe [1]), więc przeprowadzę analizę, zakładając, że tak nie jest. Możesz pominąć resztę, jeśli chcesz założyć, że dwa wymienione parametry są wszystkim, czego potrzebujesz.

Liczbę wymaganych grup możesz uzyskać z twierdzenia Buckinghama $ \ pi $.

Odpowiednie parametry, które zidentyfikowałem, to $ T $ (temperatura na wysokości $ x $), $ x $, $ Q $, $ g $, $ \ alpha $, $ \ beta $, $ \ nu $, $ T_ \ infty $, $ \ rho $ i $ c_p $. Twierdzenie Buckinghama $ \ pi $ sugeruje, że będzie tutaj 6 bezwymiarowych grup. (Zakładając, że nie brakuje mi parametru. Muszę również sprawdzić, czy macierz wymiarowa nie jest wadliwa. Aby uzyskać więcej informacji na temat analizy wymiarowej, polecam lekturę Analiza wymiarowa i teoria modeli autorstwa Henry Langhaara .)

Zatem pierwsze 5 bezwymiarowych grup to:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

$$ Pr \ equiv \ frac {\ nu} {\ alpha} $$

$$ Gr_x \ equiv \ frac {g \ beta (T - T_ \ infty) x ^ 3} {\ nu ^ 2} $$

$$ \ rho ^ * \ equiv \ beta (T - T_ \ infty) $$

Ta piąta grupa jest inspirowana przybliżeniem Boussinesqa. W tym przybliżeniu różnica gęstości jest modelowana jako różnica temperatur. Podobieństwo w tym parametrze zapewnia, że ​​twoje pole gęstości jest podobne.

Dla pozostałej grupy potrzebowałem trochę kreatywności. Podobieństwo nie wymaga, aby ta grupa przybierała jakąś określoną postać, ale najlepiej trzymać się parametrów o znanych fizycznych znaczeniach (lub parametrach, które można wyprowadzić z rządzących równań, które zwykle mają znaczenie fizyczne). Nie przychodzi mi do głowy nic dobrego, ale działa następująca:

$$ \ Pi_6 \ equiv \ frac {g x} {c_p (T - T_ \ infty)} $$

Aby uzyskać podobieństwo, musisz dopasować wszystkie te elementy. Powinno być jasne, że dopasowanie wszystkich tych elementów będzie wyzwaniem. Jak powiedziałem, wydaje się powszechną praktyką w ochronie przeciwpożarowej ignorowanie wszystkiego oprócz $ T ^ * $ i $ Q ^ * $. Nie wiem, czy to dlatego, że inne parametry nie mają znaczenia, czy tylko dla wygody. Przepraszam, jeśli nie jest to odpowiedź, której się spodziewałeś, ale podobnie jak w przypadku wielu rzeczy w inżynierii, odpowiedź nie jest łatwa.

[1] Przypomniałem sobie później, że bezwymiarowanie równań Naviera-Stokesa sugeruje, że $ Q ^ * $ to jedyny parametr w rozwiązaniu. Więc być może $ T ^ * $ i $ Q ^ * $ są wszystkim, czego potrzebujesz, a podejście Buckinghama $ \ pi $ daje ci tylko zbędne parametry. Nie przypominam sobie wszystkich szczegółów dotyczących bezwymiarowania, ale jeśli jest zainteresowanie, jestem pewien, że mógłbym je odtworzyć.

[2] Teoretyczny argument, który wspiera użycie $ Q ^ * $ zakłada, że ​​źródło ciepła jest źródłem punktowym. Więc tak naprawdę jest to poprawne tylko daleko, ponieważ temperatura idzie do nieskończoności w źródle punktowym w modelu. Dzieje się tak, ponieważ $ Q ^ * $ idzie w nieskończoność przy $ x = 0 $, jak widać z jego definicji. Jeśli opracowujesz korelację, powiedzmy $ T ^ * = a (Q ^ *) ^ b $, gdzie $ a $ i $ b $ są współczynnikami, możesz to obejść, definiując „wirtualne źródło”, które pozwoli ci aby opracować korelację bez osobliwości. Zasadniczo zamiast używać $ x $, definiujesz zamiast tego użyj $ x_ \ text {virtual} = x + x_ \ text {origin} $. Oznacza to, że $ Q ^ * $ jest teraz zapisane:

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (g [x + x_ \ text {origin}] ) ^ {1/2} (x + x_ \ text {origin}) ^ 2} $$

Wybierasz $ x_ \ text {origin} $, aby Twoja korelacja lepiej pasowała. To kolejny parametr w korelacji. Jeśli znasz temperaturę powierzchni, możesz wybrać $ x_ \ text {origin} $ tak, aby temperatura powierzchni była tym, co korelacja zwraca przy $ x = 0 $.

Ponadto, ponieważ argument popierający użycie $ Q ^ * $ naprawdę od samego początku przyjmuje założenie pola dalekiego, nie jest jasne, czy zwykłe użycie źródła wirtualnego wystarczy, aby korelacja była ważna w polu bliskim ( nawet jeśli masz podobieństwo geometryczne). Nie potrafię powiedzieć, czy inne czynniki, które zidentyfikowałem, mają znaczenie, czy nie.